离散数学(计算与证明)_在线真题试卷与模拟练习_离散数学(计算与证明)

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1.求下列各公式的主析取范式和主合取范式：

p→(P∧(Q→P))

P∨(P→Q)

P→Q

P∨¬Q

P∧Q

2.证明：P→Q，¬Q∨R，¬R，¬S∨P=>¬S

3.证明:P∨Q，P→R，Q→S =＞R∨S

4.证明:¬B∨D，(E→¬F)→¬D，¬E =＞¬B

5.证明:P→(Q→R)=＞(P→Q)→(P→R)

6.证明:(P→Q)∧(P→R)，¬(Q∧R)，S∨P=＞S

P→¬Q，Q∨¬R，R∧¬S=＞¬P

8.设A，B，C是三个集合，证明:(A-B)∩(A-C)=∅⇔A⊆B∪C

9.设A，B，C是三个集合，证明：(A-B)∪(B-A)=A⇔B=∅

10.设A，B，C是三个集合，证明:(A-B)-C⊆A-(B-C)

11.列出下列二元关系的所有元素：

(1) A={0, 1,2), B={0, 2, 4}, R={<x,y>lx,y∈A∩B}

(2)A={1, 2, 3, 4,5), B={1, 2}, R={x,y>|2≤x+y≤4且x∈A且y∈B}

(3)A={1,2,3}, B={-3,-2,-1, 0,1}, R={<x,y>| |x|=|y|且x∈A且y∈B}

12.设A={1,2,...,10}。下列哪个是A的划分？若是划分，则它们上的等价关系是什么？

(1) B={{1, 3, 6}, {2, 8, 10},{4,5,7}}

(2)C={{1,5,7},{2, 4, 8, 9},{3,5,6,10}}

(3) D={{1, 2,7},{3,5, 10},{4, 6, 8},{9}}

13.设R⊆A×A，则R自反⇔Iᴬ⊆R

14.设A是集合，R⊆A×A，则R是对称的⇔R=R⁻¹

15. 设集合A={a, b,c}，A上的关系R={<a,a>,<a,b>,<b,c>}，求R的自反、对称、传递闭包。

16. 设集合A={a, b,c,d}，A上的关系R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，求R的自反、对称、传递闭包。

17.设A={a,b, c, d, e}，有一个划分 S={{a, b}，{c},{d,e}}，试由划分S确定A上的一个等价关系R

18.集合A={1,2,3,4}上两个覆盖S1={{1,2,3},{3,4}}和

S2={{1,2}, {2,3}, {1,3}, {3,4}，求S1 和S2 所确定的相容关系

19.设<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群，试证明 <H∩K,*>也是<G,*>的子群。

20. 设<G,·>是群，a∈G。今H={x∈G｜a·x=x·a}。试证：H 是G的子群。

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