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设$$\boldsymbol{\varphi(x)=\begin{cases}|\sin x| & |x| < \frac{\pi}{3} \\ 0 & |x| \geq \frac{\pi}{3}\end{cases}}$$，求$$\varphi\left(\frac{\pi}{6}\right)$$、$$\varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)$$、$$\varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$、$$\varphi(-2)$$，并作出函数$$y = \varphi(x)$$的图形。【缺少答案，请补充】

设$$\boldsymbol{f(x)=\begin{cases}1 & |x| < 1 \\ 0 & |x| = 1 \\ -1 & |x| > 1\end{cases}}$$，$$g(x) = e^x$$，求$$f[g(x)]$$和$$g[f(x)]$$，并作出这两个函数的图形。【缺少答案，请补充】

设$$f(x) = \sqrt{x^3 - 1}$$，$$g(x) = \sqrt{1 - x^3}$$，求$$f[g(x)]$$和$$g[f(x)]$$。【缺少答案，请补充】

试证下列函数在指定区间内的单调性：（1）$$y = \lg x, (0, +\infty)$$ （2）$$y = \sin x, \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$【缺少答案，请补充】

下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）$$y = x \cdot \cos x$$ （2）$$y = \sin^2 x$$【缺少答案，请补充】

设$$\boldsymbol{f(x) = \frac{x}{x - 1}, x \neq 1}$$。试求下列复合函数，并指出$$x$$的取值范围。【缺少答案，请补充】

已知对一切实数$$x$$均有$$\varphi(x) \leq f(x) \leq \psi(x)$$，且$$f(x)$$为单调增函数，试证：$$\boldsymbol{\varphi[\varphi(x)] \leq f[f(x)] \leq \psi[\psi(x)]}$$【缺少答案，请补充】

计算下列极限：（1）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to a^+0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{a} + \sqrt{x - a}}{\sqrt{x^2 - a^2}}}$$ （2）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}}$$ （3）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to +\infty} (\tan \sqrt{x + 1} - \tan \sqrt{x})}$$【缺少答案，请补充】

（1）设$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x + 1} - ax - b \right) = \frac{1}{2}}$$，求常数$$a$$，$$b$$。（2）已知$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - x - 2} = 2}$$，求$$a$$，$$b$$。【缺少答案，请补充】

计算下列极限：（1）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x \cdot \sin x}}$$ （2）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to \infty} 2^{1 - x} \cdot \sin \frac{x}{2^x}}$$（$$x$$为不等于零的常数）（3）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} (1 - x)^{\frac{1}{x^2}}}$$ （4）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{\pi}{x} \right)^{2x}}$$ （5）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{kx}}$$（$$k$$为正整数）【缺少答案，请补充】

计算下列极限：（1）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}}$$ （2）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to \infty} \left( \frac{x}{1 + x} \right)^x}$$ （3）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to e} \frac{\ln x - 1}{x - e}}$$ （4）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} (1 + \sin x)^{k \cdot \cot x}}$$（$$k$$为常数）（5）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}}$$ （6）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x \cdot \sqrt{\cos 2x}}{x^2}}$$ （7）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} (e^x + \sin x)^{\frac{1}{x}}}$$ （8）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x + c^x}{3} \right)^{\frac{1}{x}}}$$（$$a>0$$，$$b>0$$，$$c>0$$）（9）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x - 1}}{x}}$$ （10）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + x^3)}{\ln(1 + x^2)}}$$ （11）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x + 2}{x^2 + x - 2}}$$ （12）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 1} \left( \frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^3} \right)}$$ （13）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^3 + x^2}{\left( \sin \frac{x}{2} \right)^2}}$$ （14）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{6}} \lg 2x \cdot \tan\left( \frac{\pi}{6} - x \right)}$$ （15）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to \infty} \left( \frac{2x + 3}{2x + 1} \right)^{x + 1}}$$ （16）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 1} (2 - x)^{\tan \frac{\pi x}{2}}}$$ （17）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} \left( x \cdot \sin \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \sin x \right)}$$ （18）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x \cdot \cos \sqrt{x}}{1 + x^2}}$$ （19）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2\sin x}{x^3}}$$ （20）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{\sqrt{1 + x \sin x} - \sqrt{\cos x}}}$$ （21）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} \frac{x(1 - \cos 2x)}{\tan x - \sin x}}$$ （22）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to +\infty} (\cos \sqrt{x})^{\frac{1}{x}}}$$ （23）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \ln \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}}$$ （24）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin \pi x}}$$【缺少答案，请补充】

当$$x \to 1$$时，无穷小$$1 - x$$和（1）$$1 - x^3$$、（2）$$\frac{1}{2}(1 - x^2)$$是否同阶？是否等价？【缺少答案，请补充】

证明：当$$x \to 0$$时，有（1）$$\boldsymbol{\arctan x \sim x}$$；（2）$$\boldsymbol{\sec x - 1 \sim \frac{x^2}{2}}$$【缺少答案，请补充】

利用等价无穷小的性质求下列极限：（1）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x^n)}{(\sin x)^m}}$$（$$n$$，$$m$$为正整数）（2）$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{\sin^3 x}}$$【缺少答案，请补充】

试确定常数$$a$$，使下列各函数的极限$$\boldsymbol{\lim\limits_{x \to 0} f(x)}$$存在：（1）$$\boldsymbol{f(x) = \begin{cases} \frac{x + a}{2 + e^{\frac{1}{x}}} & (x < 0) \\ \frac{\sin x \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 - \cos 2x} & (x > 0) \end{cases}}$$ （2）$$\boldsymbol{f(x) = \begin{cases} \frac{\sin ax}{\sqrt{1 - \cos x}} & (x < 0) \\ \frac{1}{x}[\ln x - \ln(x^2 + x)] & (x > 0) \end{cases}}$$【缺少答案，请补充】

讨论下列函数的连续性：

计算极限：$$\lim\limits_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin \pi x}$$

当$$x \to 1$$时，无穷小$$1 - x$$和（1）$$1 - x^3$$（2）$$\frac{1}{2}(1 - x^2)$$是否同阶？是否等价？【缺少答案，请补充】

利用等价无穷小的性质求下列极限：（1）$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x^n)}{(\sin x)^m}$$（$$n, m$$为正整数）（2）$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tg x - \sin x}{\sin^3 x}$$【缺少答案，请补充】

试确定常数$$a$$，使下列各函数的极限$$\lim\limits_{x \to 0} f(x)$$存在：（1）$$f(x) = \begin{cases} \frac{x + a}{2 + e^{\frac{1}{x}}} & (x < 0) \\ \frac{\sin x \cdot \tg \frac{x}{2}}{1 - \cos 2x} & (x > 0) \end{cases}$$ （2）$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin ax}{\sqrt{1 - \cos x}} & (x < 0) \\ \frac{1}{x}[\ln x - \ln(x^2 + x)] & (x > 0) \end{cases}$$【缺少答案，请补充】