填空题 证明谐振子基态能量具有与不确定性原理相容的最小值。

填空题 设算符 $$ \hat{a} $$ 具有性质 $$ \hat{a}^2 = 0, \{ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \} = 1 $$（即 $$ \hat{a}\hat{a}^\dagger + \hat{a}^\dagger \hat{a} = 1 $$）。求证： (1) $$ \hat{N} \equiv \hat{a}^\dagger \hat{a} $$ 本征值必为实数。 (2) $$ \hat{N}^2 = \hat{N} $$ (3) $$ \hat{N} $$ 的本征值为0或者1。

填空题 一维情况下，宇称算符$$\hat{p}$$的定义为$$\hat{p} \psi(x) = \psi(-x)$$，试证明：(1)$$\hat{p}$$是厄米算符；(2)$$\hat{p}$$的本征值为1和-1；(3)$$\hat{p}$$的分别属于1和-1的本征函数$$\psi_+$$和$$\psi_-$$正交；(4)$$\hat{p}$$是幺正算符。【缺少答案，请补充】

填空题 求证：$$ \psi(xyz) = x + y + z $$ 是角动量平方算符 $$ \hat{\boldsymbol{L}}^2 $$ 的本征值为 $$ 2\hbar^2 $$ 的本征函数。

填空题 设氢原子在 $$ t=0 $$ 时处于状态 $$ \psi(r, 0) = \frac{1}{2} R_{21}(r) Y_{10}(\theta, \varphi) - \frac{1}{\sqrt{2}} R_{31}(r) Y_{10}(\theta, \varphi) + \frac{1}{\sqrt{2}} R_{21}(r) Y_{1,-1}(\theta, \varphi) $$，求： 1、$$ t=0 $$ 时氢原子的 $$ E $$、$$ \hat{\boldsymbol{L}}^2 $$ 和 $$ \hat{L}_z $$ 的取值几率和平均值； 2、$$ t>0 $$ 时体系的波函数，并给出此时体系的 $$ E $$、$$ \hat{\boldsymbol{L}}^2 $$ 和 $$ \hat{L}_z $$ 的取值几率和平均值。【缺少答案，请补充】

填空题 已知厄密算符 $$ \hat{A}, \hat{B} $$，满足 $$ \hat{A}^2 = \hat{B}^2 = 1 $$，且 $$ \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A} = 0 $$，求： 1、在A表象中算符 $$ \hat{A} $$、$$ \hat{B} $$ 的矩阵表示； 2、在B表象中算符 $$ \hat{A} $$ 的本征值和本征函数； 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵 $$ S $$。【缺少答案，请补充】

填空题 证明：$$[\hat{N}, a^\dagger] = [a^\dagger a, a^\dagger] = a^\dagger [a, a^\dagger] + [a^\dagger, a^\dagger] a = a^\dagger [a, a^\dagger] = a^\dagger (aa^\dagger - a^\dagger a) = a^\dagger \left( \frac{1}{\sqrt{2}}(x + ip)\frac{1}{\sqrt{2}}(x - ip) - \frac{1}{\sqrt{2}}(x - ip)\frac{1}{\sqrt{2}}(x + ip) \right) = a^\dagger i\hbar(px - xp) = a^\dagger i\hbar[p, x] = a^\dagger i\hbar(-i) = a^\dagger$$【缺少答案，请补充】

填空题 设全同二粒子的体系的Hamilton量为 $$ \hat{H}(1,2) $$，波函数为 $$ \psi(1,2) $$，试证明交换算符 $$ \hat{P}_{12} $$ 是一个守恒量。