案例8:房屋买卖与无权处分案情:2023年3月,甲(80岁)与乙签订《房屋买卖合同》,约定甲将A市B区房产以300万元卖给乙,乙付定金50万元,甲收到定金后30日内过户,余款250万元于过户后5日内支付。甲因突发疾病住院,其子丙擅自取走房产证和身份证,于3月15日与丁签订合同,以320万元出售该房,伪造授权委托书和公证书,与丁办理了过户登记。3月20日,丁将房屋抵押给C银行贷款200万元,办理了抵押登记。甲出院后拒绝向乙过户,乙诉至法院要求继续履行并赔偿损失,丁主张已合法取得所有权,C银行主张抵押权有效。(25分)
问题: 甲与乙的买卖合同是否有效?乙支付的 50 万元性质如何? 丙与丁的买卖合同效力如何?丁是否取得房屋所有权? 若乙主张甲根本违约,要求解除合同并双倍返还定金,能否得到支持? C 银行的抵押权是否有效?丁无法还款时,C 银行能否就该房产优先受偿?